Агент Tencent Hyra помог найти конструкцию для 50-летней задачи аддитивной комбинаторики

Задача относится к аддитивной комбинаторике. Для конечного множества целых чисел A рассматриваются множество всех попарных сумм A+A и множество разностей A−A. Их относительный рост задают величины σ(A)=|A+A|/|A| и δ(A)=|A−A|/|A|, а отношение C(A)=log σ(A)/log δ(A) показывает, насколько быстро суммы расширяются по сравнению с разностями. Теория даёт верхнюю границу C(A)≤2, но более полувека оставалось неясно, можно ли подойти к двойке сколь угодно близко или это лишь заведомо неточная оценка.

Предыдущие работы постепенно улучшали отдельные примеры: около 1,0290 в 1969 году, 1,0598 в 1973-м и 1,1259 в 2013-м. Недавний поиск с участием ИИ поднял результат до 1,1449, а описанный в новой работе внутренний эксперимент с Codex на базе GPT-5.5 и человеческими подсказками — до 1,2851. Однако рекордное конечное множество само по себе не отвечает на вопрос о пределе. Для этого требовалось не очередное удачное расположение чисел, а параметризованное семейство, которое можно увеличивать без потери нужного свойства.

Сначала Hyra тоже оптимизировала конечные наборы и улучшила известный ориентир примерно с 1,14 до 1,21. Дальнейшему перебору мешали расход памяти и быстро растущая вычислительная сложность, а найденные численные конфигурации плохо переводились в доказательство. Тогда агенту поручили искать уже математическую конструкцию и рассуждение, используя LLM-судью для обратной связи по ходу исследования. Примерно через 24 часа Hyra предложила основу решения: двенадцатеричную структуру для контроля размера множества разностей, симметричный аддитивный базис в циклической группе и китайскую теорему об остатках для ускоренного роста множества сумм.

Из этой идеи исследователи получили семейство конечных множеств A_K и доказали, что при увеличении параметра K значение C(A_K) стремится к 2. Следовательно, двойка действительно является точной верхней гранью, хотя никакое отдельное конечное множество её не достигает. Роль Hyra здесь выходит за пределы автоматического перебора: агент помог перейти от улучшения численного рекорда к общему шаблону, который допускает строгий математический анализ.

Работа выполнена с исследовательским агентом Hyra, представленным Tencent Hunyuan 21 июля и основанным на модели Hy3 с 295 млрд параметров, из которых активируются 21 млрд. После появления кандидатной идеи математики самостоятельно проверили рассуждение, восстановили полный строгий вывод и опубликовали формализацию в Lean 4. Это важная страховка от правдоподобных, но неверных переходов языковой модели. При этом результат пока размещён только как препринт на arXiv и ещё не прошёл независимое рецензирование.